探索数学之美：sin(4arcsin(x))的值揭秘

在数学领域，三角函数的运算一直是数学爱好者们津津乐道的话题。其中，sin(4arcsin(x))作为一个涉及反三角函数和正弦函数的复合表达式，其具体值是多少，一直是许多人心中的疑问。下面，我们将深入探讨这个数学问题，并给出详细的解答。

问题一：sin(4arcsin(x))的值如何求解？

sin(4arcsin(x))的求解可以通过三角恒等变换来实现。我们知道arcsin(x)是正弦函数的反函数，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。因此，4arcsin(x)的值域为[-2π, 2π]。接下来，我们可以利用正弦函数的周期性质和倍角公式来求解。

• 将4arcsin(x)表示为2(2arcsin(x))，这样就可以利用倍角公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
• 将2arcsin(x)转换为sin(arcsin(x) + arcsin(x))，再利用和角公式sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)进行展开。
• 将sin(arcsin(x))替换为x，因为arcsin(x)是sin(x)的反函数，所以sin(arcsin(x)) = x。
• 将所有项化简，得到sin(4arcsin(x)) = 4x√(1-x2)。

问题二：sin(4arcsin(x))在x=0时的值是多少？

当x=0时，根据上述求解过程，sin(4arcsin(x)) = 4x√(1-x2) = 0。因此，sin(4arcsin(0))的值为0。

问题三：sin(4arcsin(x))在x=1/2时的值是多少？

当x=1/2时，sin(4arcsin(x)) = 4(1/2)√(1-(1/2)2) = 2√(3)/2 = √(3)。因此，sin(4arcsin(1/2))的值为√(3)。

问题四：sin(4arcsin(x))在x=-1/2时的值是多少？

当x=-1/2时，sin(4arcsin(x)) = 4(-1/2)√(1-(-1/2)2) = -2√(3)/2 = -√(3)。因此，sin(4arcsin(-1/2))的值为-√(3)。