台阶问题：多种解法探索经典算法挑战
台阶问题是一个经典的算法问题，它要求计算上n级台阶有多少种不同的上法。这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学和编程技巧。以下是一些常见的台阶问题及其解答。
台阶问题通常可以通过递归或者动态规划来解决。假设一个台阶问题有n级台阶，每次可以上一级或者两级台阶。那么，上到第n级台阶的方法数可以表示为f(n)。根据递归关系，我们有：
如果n=1，那么只有一种上法，即直接上一级。
如果n=2，那么有两种上法，即一次上一级两次，或者直接上两级。
对于n>2，上到第n级台阶的方法数等于上到第n-1级台阶的方法数加上上到第n-2级台阶的方法数，即f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
因此，我们可以使用递归或者动态规划的方法来计算f(n)。以下是使用动态规划解法的Python代码示例：
```python
def climb_stairs(n):
if n <= 1:
return 1
dp = [0] (n + 1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i 1] + dp[i 2]
return dp[n]
```
递归解法虽然直观，但存在大量的重复计算。为了优化递归解法，我们可以使用记忆化搜索（也称为自顶向下的动态规划）来存储已经计算过的结果，避免重复计算。
```python
def climb_stairs_optimized(n, memo={
